環路設計和穩定性測試是電力工程師的重要任務。電源,無論是開關模式還是線性模式,都應設計為具有快速瞬態響應和足夠的穩定性裕度。不穩定或勉強穩定的電源可能會振蕩并導致紋波、電壓、電流和熱應力增加,并可能損壞電源及其關鍵負載設備。
奈奎斯特圖和奈奎斯特準則
為了評估線性負反饋回路系統的穩定性,一個基本的原始概念是使用奈奎斯特圖的奈奎斯特準則。它以貝爾電話實驗室的工程師 Harry Nyquist 的名字命名,他在 1932 年發表了一篇關于反饋放大器穩定性的經典論文。他的 Nyquist 穩定性判據現在可以在所有關于反饋控制理論的教科書中找到。
假設反饋系統開環增益傳遞函數為 T(s),其奈奎斯特圖是 T(s) 在 Re(T(s)) 和 IM(T (s)),因為頻率 ? 作為從 0 到無窮大的參數被掃描。該圖可以使用極坐標來描述,其中環的幅度是徑向坐標,傳遞函數的相位是從點 (0, 0) 開始的相應角坐標。通過查看該圖上 (-1, 0) 點的包圍數來確定循環穩定性。對于典型的模擬反饋環路電源,其開環傳遞函數通常是穩定的(即,沒有 RHP)。在這種情況下,如果隨著頻率的增加,T(j?) 圖沒有順時針環繞 (-1, 0) 點,則閉環系統是穩定的,如圖 1 所示。
圖 1. 穩定負反饋線性系統(電源)的典型奈奎斯特圖。
為了保持一定的穩定性,重要的是使 T(j?) 圖遠離臨界 (-1, 0) 點。因此,使用 Nyquist 準則和圖,電源反饋系統穩定性裕度由 T(j?) 圖與 (-1, 0) 點的距離決定。嚴格來說,應該使用 (-1, 0) 點到 T(j?) 圖之間的最小距離來量化穩定裕度,如圖 2 中的值 dm 所表示的。但是,為了簡化頻域的任務分析(使用波特圖),相位裕度 (PM) 定義為 T(j?) 圖與單位圓相交點的相應相位角 (|T(j?)| = 1,或 0 dB),增益裕度 (GM) 由 |T(j?)| 確定 值,其中 T(j?) 圖與實軸相交(即相位 = –180°),如圖 2 所示。
圖 2. 奈奎斯特圖上的穩定性裕度(相位裕度 (PM) 和增益裕度 (GM))
波特圖和穩定性準則
盡管奈奎斯特圖提供了反饋系統的準確穩定性標準,但它并沒有直觀地顯示 T(j?) 圖上的頻率值。將此圖用于傳遞函數分析和頻域中具有極點和零點的設計并不容易。1930 年代,貝爾實驗室的另一位工程師 Hendrik Wade Bode 設計了一種簡單的方法來繪制增益和相移圖。它們被稱為一對波特圖,包括相應的增益圖和相位圖作為頻率的函數。以更直觀的方式,可以用一對波特圖重新繪制一個奈奎斯特圖,如圖 3 所示。波特幅度圖是函數 |T(s = j?)| 的圖。頻率值 ? = 2πf。這里,頻率的水平 x 軸是對數的。幅度(增益)以分貝為單位給出——也就是說,幅度值 |T| 繪制在 20log10|T| 的軸上。波特相位圖是頻率值 ? 的傳遞函數 arg(T(s = j?)) 的相位圖,通常以度數表示。相位值繪制在線性垂直軸上。使用波特圖,增益圖達到 0 dB(x 軸)的頻率定義為閉環帶寬 f系統的BW。這與 T(j?) Nyquist 圖穿過單位圓的點相同。因此,在 f BW處,相位圖與 –180° 之間的相位差是 Nyquist 圖中所示的相位穩定性裕度 (PM),即 f BW處的 PM = 180 + arg(T(j?)) 。請注意,PM ≤ 0 表示系統不穩定。隨著頻率的增加,供電相位可能會進一步減少。在相位達到 –180° 的點處,與 T(j?) Nyquist 圖與 Re 軸相交的點相同,其中增益裕量 (GM) 由 1/|T(j?)| 定義??傊?,Bode 穩定性準則是在 Bode 圖中表示的簡化 Nyquist 準則。
圖 3. 一個典型的穩定系統:奈奎斯特圖到波特圖以及相應的帶寬、相位裕度 (PM) 和增益裕度 (GM)。
例如,圖 4 顯示了一個典型的不穩定系統及其奈奎斯特圖和相應的波特圖。在其奈奎斯特圖中,隨著頻率的增加,循環 T(j?) 軌跡順時針環繞 (-1, 0) 點。該圖甚至在 |T(jw)| 之前就與 x 軸相交。幅度(即到 (0, 0) 點的距離)下降到 1。T(j?) 圖與單位圓相交,相位角為負。相應地,在其波特圖上,相位圖達到 –180°,而增益圖仍大于 0 dB。在交叉頻率 f BW處,相位值低于 –180°。從波特圖中,很容易看出它是一個 PM < 0° 的不穩定系統。
圖 4. 一個典型的不穩定系統 Nyquist 圖及其對應的 Bode 圖
波特圖的另一個主要好處是傳遞函數及其極點和零點的非常明顯的表示,以及它們的精確頻率位置以及對增益和相位圖的影響。這使得回路補償設計成為標準的工程過程。
最后,雖然波特圖增益和相位裕度是經典的穩健性度量,已在控制系統設計中使用了很長時間,但請注意,如果存在多個點(頻率),穩定性裕度的波特圖解釋可能不正確或不準確。 Nyquist 圖穿過或接近單位圓(即,Bode 增益圖穿過 0 dB)。例如,圖 5 顯示了一個在波特圖上具有良好相位和增益裕度的系統示例。然而,奈奎斯特圖顯示它非常接近 (-1, 0) 點,具有不穩定的風險。在此示例中,系統不穩健。因此,即使在波特圖上,重要的是要查看整個圖,而不是只關注 PM(在 f BW處)和 GM 的兩個點。
圖 5. 具有良好 PM 和 GM 的概念系統,但存在不穩定的風險
總之,伯德圖方法在回路穩定性分析中既簡單又成功。因此,它被廣泛用于線性反饋系統,包括電源。工程師只是喜歡使用相位裕度來確定和量化環路穩定性的簡單性(誰不喜歡?)。許多現場工程師可能已經忘記了學校教科書中最初的奈奎斯特概念。需要指出的是,Nyquist 準則和 Nyquist 圖的概念仍然有用,尤其是在出現異常和令人困惑的 Bode 圖時。
電源回路穩定性
有兩種主要類型的電源:線性模式電源和開關模式電源 (SMPS)。線性模式電源相對簡單。它們的補償網絡通常集成在 IC 內部;因此,用戶只需遵循數據手冊中關于最小和最大輸出電容要求的指南。SMPS 通常具有更高的效率,因此比線性電源具有更高的功率水平。許多 SMPS 控制器允許用戶從外部調整補償環路以獲得最佳穩定性和瞬態性能。
由于開關動作,SMPS 是非線性的時變系統。但是,它們可以用平均小信號線性化模型建模,該模型在電源開關頻率 f SW /2 內有效。因此,可以應用使用 Nyquist 和 Bode 圖的線性控制回路穩定性分析。通常,SMPS 的最大帶寬約為開關頻率 f SW的 1/10 到 ~1/5. 通常 45° 的相位裕度是可以接受的,尤其是對于降壓轉換器。首選 60° 相位裕度,這不僅是一個保守值,因為它還有助于使閉環輸出阻抗圖變平,以實現良好的配電網絡 (PDN) 設計。通常需要 8 dB 至 ~10 dB 的增益裕度,但應記住,平均模型及其波特圖僅在 f SW /2 時有效。
此外,為了衰減反饋補償環路中的開關噪聲,需要在 f SW /2 處實現 ≥8 dB 的增益衰減,作為另一個增益裕度或增益衰減設計指南。